unidad 1

John von Neumann

(Budapest, 1903 - Washington, 1957) Matemático húngaro, nacionalizado estadounidense. Nacido en el seno de una familia de banqueros judíos, dio muestras desde niño de unas extraordinarias dotes para las matemáticas. En 1921 se matriculó en la Universidad de Budapest, donde se doctoró en matemáticas cinco años después, aunque pasó la mayor parte de ese tiempo en otros centros académicos. En la Universidad de Berlín asistió a los cursos de Albert Einstein. Estudió también en la Escuela Técnica Superior de Zurich, donde en 1925 se graduó en ingeniería química, y frecuentó así mismo la Universidad de Gotinga.

Allí conoció al matemático David Hilbert -cuya obra ejerció sobre él considerable influencia- y contribuyó de manera importante al desarrollo de lo que Hilbert llamó la teoría de la demostración y aportó diversas mejoras a la fundamentación de la teoría de conjuntos elaborada por E. Zermelo. En Gotinga asistió también al nacimiento de la teoría cuántica de Werner Heisenberg y se interesó por la aplicación del programa formalista de Hilbert a la formulación matemática de esa nueva rama de la física.

Ello le llevó a convertirse en el autor de la primera teoría axiomática abstracta de los llamados -precisamente por él- espacios de Hilbert y de sus operadores, que a partir de 1923 habían empezado a demostrar su condición de instrumento matemático por excelencia de la mecánica cuántica; la estructura lógica interna de esta última se puso de manifiesto merced a los trabajos de Von Neumann, quien contribuyó a proporcionarle una base rigurosa para su exposición.

También es notable su apertura de nuevas vías al desarrollo de la matemática estadística a partir de su estudio de 1928 sobre los juegos de estrategia, posteriormente desarrollado en la famosa obra Theory of games and economic behavior, publicada en 1944 y escrita en colaboración con O. Morgenstern.
En 1943, el ejército estadounidense reclamó su participación en el Proyecto Manhattan para la fabricación de las primeras bombas atómicas; a partir de entonces, Von Neumann colaboró permanentemente con los militares, y sus convicciones anticomunistas propiciaron que interviniera luego activamente en la fabricación de la bomba de hidrógeno y en el desarrollo de los misiles balísticos. 

Lógica

La axiomatización de las matemáticas, de acuerdo con el modelo de Los elementos de Euclides, había alcanzado nuevos niveles de rigor y envergadura a finales del siglo XIX; particularmente en aritmética (gracias a Richard Dedekind y Giuseppe Peano) y geometría (gracias a David Hilbert). A comienzos del siglo XX, de cualquier manera, la teoría de conjuntos no había sido formalizada. Esta nueva rama de las matemáticas había sido creada por Georg Cantor y puesta en crisis por Bertrand Russell con el descubrimiento de su famosa paradoja sobre el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos. La paradoja de Russell consistía en la observación de que si el conjunto x (de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos) es un miembro de sí mismo, entonces debe pertenecer al conjunto de los conjuntos que no pertenecen a sí mismos y, por otra parte, si el conjunto x no pertenece a sí mismo, entonces debe pertenecer al conjunto de los conjuntos que no pertenecen a sí mismos y, por lo tanto, debe pertenecer a sí mismo.
El problema de una axiomatización adecuada de la teoría de conjuntos fue resuelto, implícitamente, cerca de 20 años después, gracias a Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel, por medio de una serie de principios que permitieron la construcción de todos los conjuntos utilizados en la práctica actual de las matemáticas, pero que no excluía, explícitamente, la posibilidad de la existencia de conjuntos que pertenecieran a sí mismos. En su tesis doctoral de 1925, von Neumann demostró cómo era posible excluir esta posibilidad en dos formas complementarias: el axioma de la fundación y la noción de clase.

El axioma de la fundación establecía que cada conjunto puede ser construido de abajo hacía arriba en una sucesión de pasos ordenada por medio de los principios de Zermelo y Fraenkel, de tal manera que, si un conjunto pertenece a otro, entonces, necesariamente, el primero debe ir antes del segundo en la sucesión (con esto se excluye la posibilidad de que un conjunto pertenezca a sí mismo). Con el objetivo de demostrar que la adición de este nuevo axioma a los otros no implicaba contradicciones, von Neumann introdujo un método de demostración (llamado método de los modelos internos) que más tarde se convertiría en un instrumento esencial de la teoría de conjuntos.

La segunda aproximación al problema toma como base la noción de clase y define un conjunto como una clase que pertenece a otras clases, mientras una clase de propiedad se define como una clase que no pertenece a otras clases. Mientras en la aproximación Zermelo/Fraenkel los axiomas impiden la construcción de un conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos, en la aproximación de von Neumann la clase de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos puede ser construida pero es una clase de propiedad y no un conjunto.

Con esta contribución de von Neumann, el sistema axiomático de la teoría de conjuntos se hizo completamente satisfactorio y la siguiente cuestión era si aquel era o no definitivo y si no estaba sujeto a mejoras. La contundente respuesta negativa la dio Kurt Gödel, cuando anunció, en el histórico Congreso de Königsberg de septiembre de 1930, su famoso primer teorema de la incompletitud: los sistemas axiomáticos usuales son incompletos, en el sentido de que no pueden probar cada verdad que puede expresarse en su lenguaje. Este resultado fue lo suficientemente innovador como para desconcertar a la mayoría de los matemáticos de aquella época. Pero von Neumann, que había participado en el congreso, confirmó su fama de pensador instantáneo y, en menos de un mes, estuvo en disposición de comunicarle a Gödel una interesante consecuencia de su teorema: los sistemas axiomáticos usuales son incapaces de demostrar su propia consistencia. Ésta es, precisamente, la consecuencia que ha atraído la mayor atención, incluso si Gödel, originalmente, la consideraba como una simple curiosidad, la habría derivado independientemente; por esta razón el resultado es llamado el segundo teorema de Gödel, sin mención alguna a von Neumann.

Mecánica cuántica

En el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900, David Hilbert presentó su famosa lista de 23 problemas considerada central para el desarrollo de las matemáticas del nuevo siglo: el sexto problema era la axiomatización de las teorías físicas. Entre las nuevas teorías físicas del siglo la única que tenía todavía que recibir tal tratamiento para finales de la década de 1930 era la mecánica cuántica. De hecho, la mecánica cuántica se encontraba, en ese momento, en una condición de crisis de fundamentos, similar a aquella que pasó la teoría de conjuntos a comienzos de siglo, enfrentando problemas tanto de naturaleza filosófica como técnica; por otra parte, su aparente indeterminismo no había sido reducido, como Albert Einstein creía que debía ser a fin de que la teoría se hiciera satisfactoria y completa, a una explicación de forma determinista; además, todavía existían dos formulaciones heurísticas distintas, pero equivalentes: la supuesta mecánica matricial de Werner Heisenberg y la mecánica ondulatoria de Erwin Schrödinger, pero no había todavía una formulación teórica unificada satisfactoria.

Después de haber completado la axiomatización de la teoría de conjuntos, von Neumann empezó a enfrentarse a la axiomatización de la mecánica cuántica. Inmediatamente, en 1926, comprendió que un sistema cuántico podría ser considerado como un punto en un llamado espacio de Hilbert, análogo al espacio de fase 6N dimensional (N es el número de partículas, 3 coordenadas generales y 3 momentos canónicos para cada una) de la mecánica clásica, pero con infinidad de dimensiones (correspondiente a la infinidad de estados posibles del sistema) en su lugar: las cantidades de la física tradicional (es decir, posición y momento) podrían estar, entonces, representadas como operadores lineales particulares operando en esos espacios. Por consiguiente, la física de la mecánica cuántica era reducida a las matemáticas de los operadores lineales hermitianos en los espacios de Hilbert. Por ejemplo, el famoso principio de incertidumbre de Heisenberg, según el cual la determinación de la posición de una partícula impide la determinación de su momento y viceversa, es trasladado a la no conmutatividad de los dos operadores correspondientes. Esta nueva formulación matemática incluía, como clases especiales, las formulaciones tanto de Heisenberg como de Schrödinger y culminó en el clásico de 1932 Las fundamentaciones matemáticas de la mecánica cuántica. De cualquier manera, los físicos, en general, terminaron prefiriendo otra aproximación diferente a la de von Neumann (la cual era considerada extremadamente elegante y satisfactoria por los matemáticos). Esta aproximación, formulada en 1930 por Paul Dirac y que estaba basada en un extraño tipo de función (la llamada delta de Dirac), fue severamente criticada por von Neumann.

De cualquier forma, el tratamiento abstracto de von Neumann le permitió también confrontar el problema extremadamente profundo y fundamental del determinismo contra el no determinismo y en el libro demostró un teorema de acuerdo con el cual es imposible que la mecánica cuántica sea derivada por aproximación estadística de una teoría determinista del mismo tipo de la utilizada en mecánica clásica. Esta demostración contenía un error conceptual, pero ayudó a inaugurar una línea de investigaciones que, gracias al trabajo de John Stuart Bell en 1964 sobre el teorema de Bell y los experimentos de Alain Aspect en 1982, finalmente demostraron que la física cuántica, en definitiva, requiere una noción de la realidad sustancialmente diferente de la manejada en la física clásica.

En un trabajo complementario de 1936, von Neumann demostró, junto con Garret Birkhoff, que la mecánica cuántica también requiere una lógica sustancialmente diferente de la lógica clásica. Por ejemplo, la luz (los fotones) no puede pasar a través de dos filtros sucesivos que estén polarizados perpendicularmente (por ejemplo, uno horizontal y el otro vertical) y por eso, a fortiori, la luz no puede pasar si un tercer filtro, polarizado diagonalmente, se agrega a los otros dos ya sea antes o después de ellos en la sucesión. Pero si el tercer filtro se coloca entre los otros dos, los fotones sí pasarán. Esta observación experimental se traduce, en términos lógicos, como la no conmutatividad de la conjunción, es decir:

   
  También se demostró que las leyes de distribución de la lógica clásica
 
Y

 

no son válidas para la teoría cuántica. Esto se debe a que una disyunción cuántica, diferente al caso de la disyunción clásica, puede ser verdadera incluso cuando ambos disyuntos son falsos y esto puede atribuirse, a su vez, al hecho de que es frecuente que ocurra, en mecánica cuántica, que un par de alternativas sean semánticamente determinadas, mientras cada uno de sus miembros son necesariamente indeterminados. Esta última propiedad puede ilustrarse con un simple ejemplo. Supóngase que se está tratando con partículas (como electrones) de espín (momento angular) semientero, por lo que sólo hay dos posibles valores: positivo o negativo. Entonces, el principio de indeterminación establece que el espín, relativo a dos direcciones diferentes (por ejemplo, x y y) da como resultado un par de cantidades incompatibles. Supóngase que el estado φ de cierto electrón verifica la proposición «el espín del electrón x es positivo». Por el principio de indeterminación, el valor del espín en la dirección y será completamente indeterminado para φ. Entonces, φ no puede verificar ni la proposición «el espín en la dirección de y es positivo» ni la proposición «el espín en la dirección de y es negativo». Sin embargo, la disyunción de la proposición «el espín en la dirección y es positivo o negativo» debe ser verdadera para φ. En el caso de la distribución es, por lo tanto, posible tener una situación en la cual

 

 

mientras

 

Ciencia computacional

Von Neumann le dio su nombre a la arquitectura de von Neumann, utilizada en casi todos los computadores, por su publicación del concepto; aunque muchos piensan que este nombramiento ignora la contribución de J. Presper Eckert y John William Mauchly, quienes contribuyeron al concepto durante su trabajo en ENIAC.16 Virtualmente, cada computador personal, microcomputador, minicomputador y supercomputador es una máquina de von Neumann. También creó el campo de los autómatas celulares sin computadores, construyendo los primeros ejemplos de autómatas autorreplicables con lápiz y papel. El concepto de constructor universal fue presentado en su trabajo póstumo Teoría de los autómatas autorreproductivos. El término «máquina de von Neumann» se refiere alternativamente a las máquinas autorreplicativas. Von Neumann probó que el camino más efectivo para las operaciones mineras a gran escala, como minar una luna entera o un cinturón de asteroides, es a través del uso de máquinas autorreplicativas, para aprovechar el crecimiento exponencial de tales mecanismos.
Además de su trabajo en arquitectura computacional, von Neumann ofreció una contribución al estudio de algoritmos. Donald Knuth considera a von Neumann el inventor, en 1945, del conocido algoritmo merge sort, en el cual la primera y segunda mitad de un array (vector) se clasifican recursivamente por separado y luego se fusionan juntas.
También participó en la investigación de problemas en el campo de la hidrodinámica numérica. Junto con R. D. Richtmyer desarrolló un algoritmo para definir la viscosidad artificial, que probó la esencia para el entendimiento de las ondas de choque. Puede decirse que no sería posible entender mucho de astronáutica y ni siquiera podrían haberse desarrollado los reactores y los motores espaciales sin ese trabajo. El problema era que cuando los computadores resuelven problemas hidro o aerodinámicos, buscan poner muchos puntos de rejilla (o malla, en inglés grid) computacionales en regiones con onda de choque de discontinuidad aguda. La viscosidad artificial era un truco matemático para suavizar levemente la transición del choque sin sacrificar la física básica.

Se interesó también por la robótica y en 1952 propuso dos modelos de máquinas autorreproductoras, uno de ellos con una modalidad de reproducción parecida a la de los cristales, mientras que el otro era más próximo a la forma en que se reproducen los animales. En 1955, tras solicitar la excedencia de Princeton, fue nombrado miembro de la Comisión de Energía Atómica del gobierno estadounidense; ese mismo año un cáncer en estado muy avanzado lo apartó de toda actividad hasta su muerte.

¿Qué es el hardware?

El hardware es la parte que puedes ver del computador, es decir todos los componentes de su estructura física.
La pantalla, el teclado, la torre y el ratón hacen parte del hardware de tu equipo.

Hardware
¿Cuál es el software?
Estos son los programas informáticos que hacen posible la realización de tareas específicas dentro de un computador. Por ejemplo Word, Excel, PowerPoint, los navegadores web, los juegos, los sistemas operativos, etc.

Software
unidad central de procesamiento
La unidad central de procesamiento o unidad de procesamiento central (conocida por las siglas CPU, del inglés: central processing unit), es el hardware dentro de un ordenador u otros dispositivos programables, que interpreta las instrucciones de un programa informático mediante la realización de las operaciones básicas aritméticas, lógicas y de entrada/salida del sistema. El término, y su acrónimo, han estado en uso en la industria de la Informática por lo menos desde el principio de los años 1960.1 La forma, el diseño de CPU y la implementación de las CPU ha cambiado drásticamente desde los primeros ejemplos, pero su operación fundamental sigue siendo la misma.

 

Un ordenador puede tener más de una CPU; esto se llama multiprocesamiento. Todas las CPU modernas son-microprocesadores, lo que significa que contienen un solo circuito integrado(chip). Algunos circuitos integrados pueden contener varias CPU en un solo chip; estos son denominados procesadores multinúcleo. Un circuito integrado que contiene una CPU también puede contener los dispositivos periféricos, y otros componentes de un sistema informático; a esto se llama un sistema en un chip (SoC).

Dos componentes típicos de una CPU son la unidad aritmético lógica (ALU), que realiza operaciones aritméticas y lógicas, y la unidad de control (CU), que extrae instrucciones de la memoria, las decodifica y las ejecuta, llamando a la ALU cuando sea necesario.

No todos los sistemas computacionales se basan en una unidad central de procesamiento. Una matriz de procesador o procesador vectorial tiene múltiples elementos cómputo paralelo, sin una unidad considerada el "centro". En el modelo de computación distribuido, se resuelven problemas mediante un conjunto interconectado y distribuido de procesadores.

memoria principal y secundaria

Memoria Principal o Primaria (RAM – ROM)
En la Memoria Principal o Primaria de la computadora se encuentran las 

memorias RAM, ROM y CACHÉ.

 

La Memoria RAM (Random Access Memory o Memoria de Acceso Aleatorio) es un circuito integrado o chip que almacena los programas, datos y resultados ejecutados por la computadora y de forma temporal, pues su contenido se pierde cuando esta se apaga. Se llama de acceso aleatorio - o de acceso directo - porque se puede acceder a cualquier posición de memoria sin necesidad de seguir un orden. La Memoria RAM puede ser leída y escrita por lo que su contenido puede ser modificado.

La Memoria ROM (Read Only Memory o Memoria de sólo lectura) viene grabada en chips con una serie de programas por el fabricante de hardware y es sólo de lectura, por lo que no puede ser modificada - al menos no muy rápida o fácilmente - y tampoco se altera por cortes de corriente. En esta memoria se almacenan los valores correspondientes a las rutinas de arranque o inicio del sistema y a su configuración.

La Memoria Caché o RAM Caché es una memoria auxiliar de alta velocidad, que no es más que una copia de acceso rápido de la memoria principal almacenada en los módulos de RAM.Memoria Secundaria (Disco Duro, Disco Flexibles, etc.)
La Memoria Secundaria (también llamada Periférico de Almacenamiento) está compuesta por todos aquellos dispositivos capaces de almacenar datos en dispositivos que pueden ser internos como el disco duro, o extraíble como los discos flexibles (disquetes), CDs, DVDs, et Dispositivo de entrada y salida

                                                    Dispositivos

Los dispositivos de entrada y salida son el conjunto de aparatos tecnológicos que usan las distintas unidades de un sistema de procesamiento de información como una computadora para comunicarse unas con otras.
Un dispositivo de entrada o salida puede ser cualquier tipo de unidad funcional o subsistema que forma parte del conjunto integral del sistema del ordenador. En todos los casos, pueden enviar señales o procesar información para establecer distintos tipos de comunicación interna y externa. El término entrada y salida o input / output (del inglés) también refiere a la ejecución de acciones u operaciones a través de dichos dispositivos. La mayoría de estos dispositivos permiten tanto la entrada como la salida de datos